Волейбольную карьеру Дмитрий начал под руководством отца Ивана Драчева, который привел "Калев" к золотым медалям чемпионата СССР. В 1970 году Драчев-младший в составе ростовского СКА стал бронзовым призером чемпионата СССР.

По окончании спортивной карьеры Дмитрий Драчев работал тренером и водителем.